Matemáticas
05/08/2020 18:55:47




Hola Colegas como estan?
Les dejo algunas ideas, enigmas, problemas e invitaciones a pensar de Adrián Paenza.
Espero los disftuten y los puedan compartir con sus estudiantes y colegas. 





1. ¿Cómo hacer para pesar diez kilos con una balanza desbalanceada?

2. Los tres recipientes con dos tipos de monedas que tienen las etiquetas cambiadas

3. Las cuatro mujeres y el puente

4. Problema de las 10 monedas

5. Cuatro interruptores

    


1. ¿Cómo hacer para pesar diez kilos con una balanza desbalanceada?

Mucha gente cree que tiene mala suerte y lo expresa de distintas maneras. Por ejemplo: "El día que llueva sopa, yo voy a estar con un tenedor en la mano". O algo equivalente. El hecho es que si Murphy viviera, diría que uno siempre tiene un destornillador cuando necesita un martillo (o al revés). Pero con el tiempo y con paciencia, al final, nos ingeniamos para salir del paso.

Es posible que usted nunca tenga que enfrentar el problema que viene a continuación. Sin embargo, estoy seguro de que, el haber pensado en cómo resolverlo, lo ayudará a tener una llave extra en su arsenal, que uno nunca sabe cuándo necesitará utilizar. Supongamos que tiene que pesar exactamente diez kilos de azúcar. Para lograrlo, se tienen dos pesas de cinco kilos cada una , y una balanza con dos platillos.

La dificultad reside en que la balanza está desbalanceada. Esto significa que, sin que haya ningún peso en ninguno de los dos platillos, hay uno que está más arriba que el otro.

¿Cómo hacer?

Solución

Primero, ponga las dos pesas (5 kilos + 5 kilos) sobre uno de los platillos. Ponga azúcar en el otro hasta que los dos platillos queden a la misma altura. Cuando lo logró, retire las dos pesas y reemplácelas con azúcar hasta que los platillos queden otra vez a la misma altura.

Obviamente, el azúcar que le hizo falta poner en el platillo en donde estaban las dos pesas cumple con lo que usted quería: ¡pesa 10 kilos!


2. Los tres recipientes con dos tipos de monedas que tienen las etiquetas cambiadas

Supongamos que tiene tres recipientes iguales que contienen monedas. Y no se puede ver lo que hay en el interior de cada uno.

Lo que sí se puede ver es que en la parte de afuera de cada recipiente hay pegada una etiqueta.

Una dice: "Monedas de 10 centavos".

Otra dice: "Monedas de 5 centavos".

Y la tercera dice: "Mezcla".

Un señor que pasó por el lugar antes que usted, despegó todas las etiquetas que había y las puso, a propósito, en recipientes que no correspondían. ¿Alcanza con elegir una sola moneda de un solo recipiente para tener suficiente información para reordenar las etiquetas y poner cada una en el lugar que le corresponde?

Solución

Sí, se puede.

Uno retira una moneda del recipiente que dice "Mezcla" Se fija qué tipo de moneda es. Puede ser o bien de 5 centavos o de 10. Supongamos que es una moneda de 5. Como la etiqueta de la que sacó la moneda decía "Mezcla", está claro que ese recipiente no es el de la mezcla. Entonces significa que ya encontró el recipiente al cual ponerle la etiqueta que diga "Monedas de 5 centavos".

Por otro lado, el recipiente que tiene la etiqueta que dice "Monedas de 10 centavos" tiene que ser el que contenga la "mezcla". ¿Por qué? Porque, por un lado, no puede ser el de las monedas de 10 ya que, si no, tendría la etiqueta correcta. Luego, sólo puede ser el de las monedas de 5 o el de la mezcla. Pero el de las monedas de 5 tampoco puede ser, porque ésa fue la primera que sacamos. Luego, allí debería decir "Mezcla".

Listo. En el primer recipiente va la etiqueta que dice "Monedas de 5 centavos", en el que dice "Monedas de 10 centavos" va la que dice "Mezcla" y en el que queda va la etiqueta que dice "Monedas de 10 centavos".

MORALEJA: uno escuchó muchas veces decir "hay que leer bien el enunciado" o lo que en la vida cotidiana significa "estar muy atento a todos los detalles y no pasar nada por alto".

El problema anterior es un buen ejemplo de esto ya que si uno no presta atención a la parte del enunciado que dice "en recipientes que no correspondían", no puede resolver bien el problema. Como suele decir Gerardo Garbulsky, es un aprendizaje de vida muy interesante.


3. Las cuatro mujeres y el puente

El problema que sigue se inscribe entre los llamados de "pensamiento lateral". En realidad, son problemas sencillos de enunciar, pero cuya solución aparece como resbaladiza. Lo curioso es que no bien uno la encuentra no puede entender cómo no se le ocurrió antes. Y la dificultad consiste en que uno "empuja" para ir en una dirección (aunque no lo advierte) que luego resulta equivocada (cosa que uno "tampoco" advierte). Créame que vale la pena pensarlo.

El problema que sigue requiere planificar una estrategia. No es difícil, pero tampoco trivial. Eso sí: no tiene trampas. Es un ejercicio muy conocido en el mundo de los que juegan a planificar e inventar caminos donde, en apariencia, no los hay. Y tiene el atractivo extra de que permite entrenar al cerebro. Acá va:

Hay cuatro mujeres que necesitan cruzar un puente. Las cuatro empiezan del mismo lado del puente. Sólo tienen 17 (diecisiete) minutos para llegar al otro lado. Es de noche y sólo tienen una linterna. No pueden cruzar más de dos de ellas al mismo tiempo, y cada vez que hay una (o dos) que cruzan el puente, necesitan llevar la linterna.

Siempre.

La linterna tiene que ser transportada por cada grupo que cruza en cualquier dirección. No se puede "arrojar" de una costa hasta la otra. Eso sí: como las mujeres caminan a velocidades diferentes, cuando dos de ellas viajan juntas por el puente, lo hacen a la velocidad de la que va más lento.

Los datos que faltan son los siguientes:

Mujer 1: tarda 1 (un) minuto en cruzar

Mujer 2: tarda 2 (dos) minutos en cruzar

Mujer 3: tarda 5 (cinco) minutos en cruzar

Mujer 4: tarda 10 (diez) minutos en cruzar

Por ejemplo, si las mujeres 1 y 3 cruzaran de un lado al otro, tardarían 5 minutos en hacer el recorrido. Luego, si la mujer 3 retorna con la linterna, en total habrán usado 10 minutos en cubrir el trayecto.

Con estos elementos, ¿qué estrategia tienen que usar las mujeres para poder pasar todas en 17 minutos, de un lado del río al otro?

Solución

Primer viaje: van las mujeres 1 y 2. En total usaron 2 minutos.

Segundo viaje: vuelve la mujer 2 con la linterna. Pasaron 4 minutos.

Tercer viaje: van las mujeres 3 y 4. Ellas tardan 10 minutos, más los 4 que se habían usado antes, suman 14.

Cuarto viaje: vuelve la mujer 1 con la linterna (que había quedado en la otra orilla luego del primer viaje). Total consumido: 15 minutos.

Quinto (y último) viaje: van las mujeres 1 y 2. Tardan 2 minutos en este viaje, y en total, 17 minutos.

MORALEJA:  No interesa si a usted se le ocurrió la solución o la leyó. No importa. Lo que sí interesa es que descubra por qué le costó trabajo.

Piense: ¿usted no intentó todas las veces que las mujeres que tardan más (5 y 10 minutos) vayan juntas de una orilla a la otra? Casi seguro que sí. Pero, ¿dónde estuvo la diferencia? Es que en la solución se advierte que una de las dos mujeres que tardan menos (las de 1 y 2 minutos) ¡estaba ya esperando en la otra orilla para traer la linterna de vuelta! De esa forma, uno ahorra minutos y no necesita usar más ni a la de 5 ni a la de 10 minutos.

Y ésa es la clave. Haber hecho viajar a las de 1 y 2 minutos primero, para que una de las dos (no importa cuál) se quede allá para traer la linterna cuando hayan llegado las de 5 y 10 minutos. La manera distinta de pensar el problema pasó por ahí.

Pero claro, como en la vida, ahora que uno sabe la solución, todo es más fácil.




4. Problema de las 10 monedas

Se tienen 10 monedas arriba de una mesa.

¿Es posible distribuirlas en cinco segmentos, de manera tal que queden exactamente cuatro en cada uno de ellos?

Si se puede, exhiba una forma de hacerlo. Si no se puede, explique por qué.

Solución


5. Cuatro interruptores

Hace un tiempo presenté un problema que involucra lo que se llama el "pensamiento lateral". Por las características que tenía, lo llamé "Problema de los tres interruptores". Obviamente no es algo que inventé (ni mucho menos), pero me pareció que, de todos los que conocía al respecto, ése era el más atractivo. De hecho, en varias charlas que tuve con grupos de jóvenes de distintas edades y también con gente dedicada a la docencia y divulgación de la matemática, recibí de parte de todos muy buenos comentarios.

Ahora quiero contar una anécdota e incorporar un grado de "dificultad" más al problema de los interruptores. El día que apareció en la contratapa del diario Página/12 el problema de los tres interruptores, se me acercó Fernando Kornblit, un matemático argentino que trabaja en el INTI, y me dijo: "Adrián, muy interesante el problema de los interruptores, pero estuve pensando que también tiene solución si en lugar de tres interruptores hubiera cuatro".

Le pedí que nos dejara pensar un rato, y eso es lo que le estoy proponiendo acá: que lo piense también. Sólo para refrescar las ideas, recuerdo el problema original: Se tiene una habitación vacía, salvo porque hay colgada desde el techo una bombita de luz. El interruptor que activa la luz se encuentra en la parte exterior de la pieza. Es más: no sólo hay un interruptor, sino que hay tres iguales, indistinguibles. Uno sabe que sólo una de las "llaves" activa la luz (y que la luz funciona, naturalmente).

El problema consiste en lo siguiente: la puerta de la habitación está cerrada. Uno tiene el tiempo que quiera para "jugar" con los interruptores.

Puede hacer cualquier combinación que quiera con ellos, pero puede entrar en la pieza sólo una vez. En el momento de salir, uno debe estar en condiciones de poder decir: "Ésta es la llave que activa la luz". Los tres interruptores son iguales y están los tres en la misma posición: la de "apagado".

A los efectos de aclarar aún más: mientras la puerta está cerrada y uno está afuera, puede entretenerse con los interruptores tanto como quiera.

Pero habrá un momento en que decidirá entrar en la pieza. No hay problema. Uno lo hace. Pero cuando sale, tiene que poder contestar la pregunta de cuál de los tres interruptores es el que activa la lamparita.

Una vez más, el problema no esconde trampas. No es que se vea por debajo de la puerta, ni que haya una ventana que da al exterior y que le permita ver qué es lo que pasa adentro, nada de eso. El problema se puede resolver sin golpes bajos.

Hasta acá, el problema conocido. El agregado entonces es: si en lugar de haber tres interruptores, hay cuatro, ¿se puede encontrar la solución también entrando en la pieza una sola vez? Ahora, otra vez (afortunadamente) le toca a usted.

Solución

La ventaja que uno tiene ahora (y no tenía en el momento de pensar el problema original) es que, quien alguna vez lo dedujo, sabe que no alcanza con mirar: ¡hay que tocar la lámpara! Hay que poder medir la temperatura, para poder usar ese dato.

Entonces, pensemos juntos la solución, sabiendo que la temperatura de la lámpara tendrá incidencia. Ahora, veamos cómo.

Si "encendemos" los interruptores 1 y 2 durante 10 minutos y entramos en el cuarto, ¿qué ganaríamos? Si está la luz encendida, no sabríamos si fue el 1 o el 2. Y si está apagada, sólo sabríamos que la lámpara se activa o bien con el 3 o bien con el 4. Y si tocamos la lámpara, no nos va a decir nada tampoco, porque la única manera de que esté caliente es si está encendida. Y si está fría, tampoco nos dice nada, porque puede ser que se active con el 3 o el 4.

Sin embargo, creo que después de haber leído estas últimas consideraciones, usted debe haber pensado algo más. Y creo que sí, que tiene razón. Si uno enciende los interruptores 1 y 2, los deja 10 minutos, antes de entrar apaga el 2 y enciende el 3, y ahora sí entra rápido en la pieza, pensemos si hemos avanzado más.

¿Qué puede pasar al entrar rápido en la pieza? La luz puede estar encendida o apagada, obviamente. Sin embargo, hay una diferencia sensible. Puede que esté encendida pero fría. En ese caso, como no hubo tiempo de que se calentara aún, tiene que ser el interruptor número 3, que fue el último que encendimos. En cambio, si está encendida pero caliente, significa que es el número 1 el que activa la luz, ya que es el que estuvo encendido los 10 minutos previos.

Tenemos el problema resuelto si la luz está encendida. ¿Y si está apagada? (Una vez más, me hago a un costado para que usted siga deduciendo solo/a.) Si está apagada, puede que la lamparita esté o bien fría o bien caliente. Si está caliente, eso significa que el interruptor que desactivé inmediatamente antes de entrar, el número 2, es el que activa la lámpara.

(¿Me sigue con este razonamiento? Si le parece que no lo entendió, retroceda y lea de nuevo. No va en demérito de nadie no entender un argumento...)

Por último, si la lámpara está apagada y además fría, entonces el interruptor que activa la luz es el número 4.

En resumen, el aporte de Fernando fue muy bueno, porque sirvió para generalizar aún más un problema que parecía cerrado con el caso de los tres interruptores.



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Espero les haya gustado el posteo!

No dejen de compartirlo con sus alumnos y colegas :)

y tampoco olviden comentar!

Un saludo

ps. Si les gusto no dejen de comentar así comparto mas contenido similar.








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