Matemáticas
22/09/2015 02:20:58



Triángulos

Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos

Los tres ángulos siempre suman 180°

Equilátero, isósceles y escaleno

Hay tres nombres especiales de triángulos que indican cuántos lados (o ángulos) son iguales.

Puede haber 32 o ningún lados/ángulos iguales:

Triángulo equilátero

Triángulo equilátero

Tres lados iguales
Tres ángulos iguales, todos 60°

Triángulo isósceles

Triángulo isósceles

Dos lados iguales
Dos ángulos iguales

Triángulo escaleno

Triángulo escaleno

No hay lados iguales
No hay ángulos iguales


¿Qué tipos de ángulos?

Los triángulos también tienen nombres que te dicen los tipos de ángulos

Triángulo acutángulo

Triángulo acutángulo

Todos los ángulos miden menos de 90°

Triángulo rectángulo

Triángulo rectángulo

Tiene un ángulo recto (90°)

Triángulo obtusángulo

Triángulo obtusángulo

Tiene un ángulo mayor que 90°


Combinar los nombres

A veces los triángulos tienen dos nombres, por ejemplo:
Triángulo isósceles rectángulo

Triángulo isósceles rectángulo

Tiene un ángulo recto (90°), y los otros dos ángulos iguales

¿Adivinas cuánto miden?

Área

Área = ½bh

La fórmula (1/2)bh vale para todos los triángulos. Asegúrate de que la "h" la mides perpendicularmente a la "b".

Área del triángulo

Imagina que "doblas" el triángulo (volteándolo a lo largo de uno de los lados de arriba) para tener una figura de cuatro lados (que será en realidad un "paralelogramo"), entonces el área sería bh. Pero eso son dos triángulos, así que uno solo es (1/2)bh.



Los triángulos tienen 180°

Ha una manera de probar que los ángulos de un triángulo suman 180°:

Demostración de que los triángulos tienen 180 grados

Explicación 1: La línea de arriba (la que toca la punta del triángulo) es paralela a la base. Así que:

  • los ángulos "a" son iguales, y
  • los ángulos "b" son iguales,

y está claro que "a" + "b" + "c" son un giro desde un lado del triángulo al otro, así que son 180°



Explicación 2: Por las propiedades de los ángulos, cuando una línea corta a dos paralelas se puede ver que los ángulos del triángulo a + b + c = el ángulo sobre una línea recta = 180°




¿Qué es un Triangulo?, Un triangulo es un polígono que tiene tres lados, está determinado por tres lados o tres puntos no alineados llamados vértices.
 
Definición de triangulo
El triangulo es una figura plana que no tiene volumen, tiene área, la fórmula para determinar el área es (Basepor altura sobre 2). Laaltura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).
 
Los lados de un triángulo se escriben en minúscula, con las mismas letras de los vértices opuestos.
 
Los vértices de un triángulo se escriben con letras mayúsculas.
 
Los ángulos de un triángulo se escriben igual que los vértices.



Tipos de triángulos.

Los triángulos se pueden clasificar según sus lados en equiláteroisósceles y escaleno, también de acuerdo a sus ángulos internos en acutángulosrectángulos y obtusángulos.
 
Tipos de triángulos
Propiedades de los triángulos
 
1 Un lado de un triángulo siempre es menor que la suma de los dos restantes y mayor que su diferencia.
 
2 La suma de los ángulos interiores del triángulo siempre es igual a 180°.
 
3 El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
 
Tipos de triángulos:
 
1) Según sus lados
 
Triángulo equilátero: sus tres lados son del mismo tamaño, quiere decir que los tres ángulos internos miden 60 grados.
Triángulo equilátero
 
Triángulo isósceles: se reconoce este triángulo si tiene dos lados iguales, o sea de la misma logitud. Además, los ángulos que se oponen a estos lados son de la misma medida.
Triángulo isósceles
 
Triángulo escaleno: este triángulo tiene sus tres lados desiguales; no hay dos ángulos que sean de la misma medida.
Triángulo escaleno
 
2) Según sus ángulos
 
Un triángulo es oblicuángulo cuando sus ángulos interiores no son rectos, es decir,ninguno mide 90º. Esto quiere decir que los triángulosacutángulosobtusángulosson también oblicuángulos.
Veamos:
 
Triángulos Acutángulos: se reconoce un triángulo acutángulo porque sus tres ángulos son agudos, es decir,  son menores de 90º
Triángulos Acutángulos
 
Triángulos Rectángulos: Se diferencia en que uno de sus ángulos es recto, o sea, mide 90º
Triángulos Rectángulos
 
Triángulos Obtusángulos: entre los tipos de triángulos, este se diferencia porque un ángulo es mayor a 90º
Triángulos Obtusángulos



Área de un triángulo

El área de un triángulo esta definida por la formulabase por altura divido por 2. La altura es la recta que va desde un vértice al lado opuesto, sin embargo en ocasiones que no conocemos alguno de estos dos datos podemos utilizar otras formulas.
 
Área de un triangulo
Primero veremos un ejemplo sencillo:
 
Hallar el área del siguiente triángulo:
Hallar el área del siguiente triángulo
 
Área de un triángulo equilátero
 
Este ejemplo lo haremos con un triangulo equilátero del que solo conocemos sus lados. Tenemos la fórmula para hallar la altura: Altura es igual a la raíz cuadrada de 3 dividido por 2 por L (Un lado). También la fórmula para hallar el área directamente: Área es igual a la raíz cuadrada de 3 dividido por 4, por L (Lado) al cuadrado.
 
Área de un triángulo equilátero
 
Ejemplo
 
Calcular el área de un triángulo equilátero de 10 cm de lado.
 
Calcular el área de un triángulo equilátero de 10 cm de lado
 
Área de un triángulo rectángulo
 
El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos dividido por 2.
 
Área de un triángulo rectángulo
 
Ejemplo
 
Calcular el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm.
 
Calcular el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm
 
Semiperímetro
 
El semiperímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados partido por 2.
 
Se nombra con la letra p.
 
El semiperímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados partido por 2
 
Fórmula de Herón
 
La fórmula de Herón se utiliza para hallar el área de un triángulo conociendo sus tres lados.
 
Fórmula de Herón
 
Ejemplo
 
Hallar el área del triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 cm.
 
Hallar el área del triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 cm.





Los triángulos se pueden clasificar según sus lados o según sus ángulos.

Tipos de triángulos según sus lados

    Dibujo del triángulo equilátero con sus lados y ángulos interiores

  • Triángulo equilátero: tiene todos sus lados iguales. Por tanto, sus ángulos también son los tres iguales. Es decir:


    Fórmula de la relación de lados y ángulos del triángulo equilátero.

    Como todos los ángulos son iguales y suman 180º (¿por qué suman 180º?), todos son de 60º (α=β=γ=60º).

  • Dibujo del triángulo isósceles con sus lados y ángulos interiores

  • Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales. Por lo tanto, dos de sus ángulos también son iguales.


    Fórmula de la relación de lados y ángulos del triángulo isósceles.

    El ángulo desigual β es el que forman los dos costados iguales (a y c).

  • Dibujo del triángulo escaleno con sus lados y ángulos interiores

  • Triángulo escaleno: los tres lados son desiguales, por lo que los tres ángulos también son diferentes. Es decir:


    Fórmula de la relación de lados y ángulos del triángulo escaleno.

Tipos de triángulos según sus ángulos

  • Triángulo rectángulo: uno de sus ángulos es de 90º. Los otros dos son agudos (menores de 90º).
  • Triángulo acutángulo: los tres ángulos son agudos (menores de 90º).
  • Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es mayor a 90º. Los otros dos son agudos (menores de 90º).


Dibujo de tipos de triángulo según sus ángulos





El perímetro de un triángulo rectángulo es la suma de los tres costados.

Dibujo del triángulo rectángulo


Fórmula del perímetro de un triángulo rectángulo


Ejemplo

Ejemplo de triángulo equilátero para el cálculo de su perímetro.

Sea un triángulo rectángulo con los tres lados conocidos, siendo éstos a=3 cm, b=4 cm y c=5 cm.

¿Cuál es su perímetro?

Éste se calculará como la suma de sus tres lados:


Ejemplo del perímetro de un triángulo rectangulo.

Y como resultado se obtiene que el perímetro es de 12 cm.

Perímetro de un triángulo rectángulo a partir del teorema de Pitágoras

El triángulo rectángulo cumple el teorema de Pitágoras, por lo que la hipotenusa (c) y el perímetro se pueden expresar a partir de los catetos (a y b).

Dibujo del triángulo rectángulo para calcular el perímetro por el teorema de Pitágorass.

Fórmula del perímetro de un triángulo rectángulo a través del teorema de Pitágoras, poniendo la hipotenusa en función de los catetos.



Perímetro de un triángulo rectángulo a partir del teorema del cateto

Dibujo del triángulo rectángulo en el teorema del cateto

El perímetro de un triángulo rectángulo se puede obtener a partir de la hipotenusa y las proyecciones de loscatetos sobre esta mediante el teorema del cateto.

Sean n y m las proyecciones de los catetos (b y a). Entonces el perímetro de un triángulo rectángulo viene definido por la siguiente fórmula:


Fórmula del perímetro de un triángulo rectángulo por el teorema del cateto

Este método es útil si no se conocen los catetos (a y b).






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